Jeux à champ moyen déterministes avec des contrôles sur l’accélération et des contraintes d’état

Lien d’accès : https://greenlight.lal.cloud.math.cnrs.fr/b/jul-zjy-etk ************************************************En cas de problème : https://bbb.dma.ens.fr/b/cyr-fpw-ctt********************************************************La théorie des jeux à champ moyen a été introduite en 2006 par JM. Lasry et PL. Lions pour décrire des jeux différentiels (équilibres de Nash) dans la limite où le nombre de joueurs tend vers l’infini. Cette théorie a depuis connu un essor considérable. Elle constitue un point de rencontre de plusieurs domaines des mathématiques appliquées: théorie des jeux, contrôle optimal déterministe ou stochastique, calcul des variations, transport optimal, analyse des EDPs, méthodes numériques. Les applications sont nombreuses: économie, étude des comportements collectifs avec anticipations rationnelles, etc…Dans un premier temps, je tenterai de donner une introduction rapide de la théorie des jeux à champ moyen.Dans un deuxième temps, je mettrai l’accent sur des travaux récents (en collaboration avec P. Mannucci (U. Padova), C. Marchi (U. Padova) et N. Tchou (U. Rennes)) sur des jeux à champ moyen déterministes dans lesquels les joueurs contrôlent leur accélération. Cet aspect n’ a été que très peu étudié.Je parlerai d’abord rapidement du cas où le jeu a lieu dans tout l’espace et du système d’EDPs qui le décrit; je considérerai ensuite le cas où les agents sont contraints à rester dans un domaine (contraintes sur l’état). Comme rien n’empêche des phénomènes de concentration sur le bord de l’espace des états, il est difficile de donner une description du modèle par un système d’EDPs. On privilégie donc une formulation lagrangienne, dans l’esprit des travaux de Benamou-Carlier, Cardaliaguet-Meszaros-Santambrogio. Le manque de controlabilité forte pose alors des difficultés près du bord de l’espace des états; en particulier la fonction valeur est discontinue et localement non bornée, ce qui complique nettement l’utilisation de théorèmes de point fixe.Je donnerai des résultats d’existence d’équilibres dans la formulation lagrangienne sous des hypothèses convenables.