Le théorème du corps est l’observation qu’un groupe de rang de Morley fini connexe, résoluble, et non nilpotent, interprète un corps infini. Par d’autres résultats classiques, le corps est commutatif et même algébriquement clos.
Le théorème du corps est souvent vu comme corollaire du «théorème d’engendrement par des indécomposables» mais c’est une erreur car il en est indépendant. Il a quelques variantes, des théorèmes de linéarisation d’actions de groupes.
Je donnerai un énoncé qui généralise naturellement tous les résultats «à la Zilber». C’est un résultat de linéarisation de bimodules, dans un contexte plus général que les théories de rang de Morley fini. En général on interprète un corps gauche.
Prérequis : notion de définissabilité ; «lemme de Schur» en théorie des représentations (l’anneau des endomorphismes qui commutent avec une représentation irréductible est en fait un corps gauche).
Zilber’s Field Theorem ZFT is the observation that a connected, soluble, non-nilpotent group of finite Morley rank interprets an infinite field. By other classical results, the field is commutative indeed, and even algebraically closed.
The ZFT is often seen as a corollary to Zilber’s `indecomposable generation theorem’; but it actually is independent from it. The ZFT has a couple of variants, linearisation results for definable group actions.
I shall give a theorem which generalises naturally all results `à la Zilber’. It is a tool that can linearise bimodule actions, in a broader context than theories of finite Morley rank. In general it produces a definable skew-field.
Prerequisites: definable sets; `Schur’s lemma’ from representation theory (the ring of endomorphisms commuting with an irreducible representation, actually is a skew-field).