Lorsqu’on simule un grand arbre aléatoire, on a l’impression d’obtenir un objet fractal. L’objectif de cette exposé sera de justifier cette observation. 

On pensera ici à un arbre comme un arbre généalogique où chaque individu engendre, ou non, des enfants, de génération en génération. Un modèle très étudié d’arbre aléatoire est celui des arbres de Bienaymé-Galton-Watson, où les nombres d’enfants des individus sont aléatoires, indépendants, et de même loi. Lorsque la loi de reproduction est critique et a une variance finie, un résultat fondateur dû à Aldous est la convergence (dans un sens à préciser) d’un tel arbre conditionné à avoir n sommets vers l’arbre continu brownien quand on renormalise les longueurs d’arêtes par n^1/2.

Pour étudier les limites d’arbres aléatoires, on parlera des différents codages d’un arbre planaire et de leurs convergences. Puis j’introduirai la notion d’arbre continu, et je définirai l’arbre continu brownien. Enfin, je donnerai des idées de preuve pour la convergence et si le temps le permet, je parlerai du caractère fractal de la limite.