Matrices aléatoires

Dans cet exposé, on montrera comment des considérations deprobabilités et d’algèbre se confrontent dans l’étude des matricesaléatoires. On commencera par expliquer comment on détermine la loides valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice dont descoefficients sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes.On verra alors que les valeurs propres d’une telle matrice peuventêtre comprises comme des particules soumises à deux forcesantinomiques : un potentiel qui les confine au voisinage de l’origineet des interactions répulsives qui les poussent à s’écarter les unesdes autres. On fera alors tendre la dimension des matrices versl’infini et il apparaîtra que ces deux tendances peuvent s’équilibrer: l’histogramme de ces valeurs propres s’approche d’une forme limitequi est la densité de la loi dite du demi-cercle.