Speaker: Thierry Gallay (Université Grenoble Alpes)

Le but de cet exposé est de définir un cadre mathématique permettant de décrire les interactions entre tourbillons et parois pour des écoulements plans à grand nombre de Reynolds. Les phénomènes typiques que l’on souhaite étudier à terme sont le mouvement auto-induit (pour un tourbillon isolé) et l’effet de rebond (pour une paire de tourbillons).

Dans la première partie, à caractère tout à fait élémentaire, on explique comment résoudre les équations de Navier-Stokes incompressibles dans un demi-plan en exploitant l’équation d’évolution pour le tourbillon du fluide. Si l’on suppose que la vitesse s’annule sur la paroi, le tourbillon vérifie une condition au bord non linéaire et non locale qui est difficilement utilisable en pratique. On peut toutefois la remplacer par une condition intégrale permettant une formulation élégante du système, lequel se résout alors par un simple argument de point fixe dans un cadre fonctionnel approprié.

Dans la seconde partie, en cohérence avec l’objectif affiché, on suppose que la donnée initiale est une collection finie de tourbillons ponctuels, dont les circulations peuvent être arbitrairement grandes. Ce cas ne peut pas être traité comme précédemment par un simple argument de point fixe, mais on peut tout de même montrer l’existence et l’unicité de la solution en utilisant une décomposition appropriée, qui permet de traiter la partie la plus singulière de la solution dans le plan tout entier où l’on dispose d’outils plus affûtés. En fonction du temps disponible, on présentera également quelques résultats concernant le comportement asymptotique en temps de la solution, ses propriétés de localisation, ou la question difficile de la limite non visqueuse.

Cet exposé repose entièrement sur un travail en collaboration avec Anne-Laure Dalibard.