Résumé : Une carte planaire est un dessin (plongement propre) d’un graphe fini connexe dans le plan. Motivé par le célèbre théorème des quatre couleurs, W. T. Tutte a réussi dans les années 60 à énumérer les cartes planaires et ainsi fonder l’étude systématique de ces objets. Depuis, les cartes sont apparues dans d’autres domaines des mathématiques comme les intégrales matricielles, la géométrie algébrique, l’analyse complexe et la physique théorique.
En particulier, en gravité quantique 2D, les physiciens considèrent les cartes planaires comme une discrétisation naturelle d’une surface de Riemann fluctuante. Cette démarche a donné naissance au début des années 2000 à la théorie probabiliste des cartes planaires aléatoires. Le but est de comprendre les propriétés géométriques à grande échelle de grandes cartes planaires choisies uniformément au hasard dans une certaine classe. En 2011, Le Gall et Miermont ont ainsi montré que les cartes planaires aléatoires admettent une limite d’échelle universelle, une surface continue fractale aléatoire appelée la carte brownienne.
Dans la première partie de cet exposé, nous brosserons un historique des méthodes d’énumération de cartes planaires en passant par l’approche initiale de Tutte, les intégrales de matrices et les méthodes bijectives développées par Schaeffer. Nous plongerons ensuite dans la géométrie fascinante des cartes aléatoires et esquisserons quelques conjectures dues à Duplantier et Sheffield sur les liens avec le champ libre gaussien.
Quelques références :
J. Bouttier. Physique statistique des surfaces aléatoires et combinatoire bijective des cartes planaires
J.F. Le Gall. Uniqueness and universality of the Brownian map
G. Miermont. Random maps and continuum random 2-dimensional geometries