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Analyse complexe

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Analyse complexe

Enseignant : Ariane Mézard

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1A-S2 1ère année Cours de mathématiques

Au sujet de ce cours

Programme du cours :

I. Fonctions holomorphes et analytiques :

(1) Définition;
(2) Equations de Cauchy-Riemann;
(3) Formulation géométrique;
(4) Fonctions analytiques complexes, caractère holomorphe des sommes de séries entières, Exemples;
(5) Théorème de Cauchy;
(6) Lemme de Goursat.

II. Les grands théorèmes :

(1) Formule de la moyenne et théorème de Liouville;
(2) Zéros des fonctions holomorphes et prolongement analytique;
(3) Allure locale, théorème de l’application ouverte;
(4) Principe du maximum et Lemme de Schwarz;
(5) Suites de fonctions holomorphes;
(6) Intégrales dépendant d’un paramètre holomorphe, exemple de la fonction Gamma;
(7) Produits infinis de fonctions holomorphes;
(8) Produits de Weierstrass.

III. Fonctions méromorphes, résidus :

(1) Développement en série de Laurent et singularités isolées;
(2) Fonctions méromorphes;
(3) Formule des résidus;
(4) Calculs d’intégrales;
(5) Prolongement méromorphe de la fonction zeta de Riemann.

IV. Fonctions holomorphes et topologie

(1) Formes différentielles exactes et fermées (en degré 1);
(2) Intégrale d’une 1-forme fermée le long d’un chemin continue;
(3) Invariance par homologie
(4) Groupe fondamental;
(5) Chaînes, cycles, bords et homologie;
(7) Simple connexité et primitives.

V. Indices, théorème de Rouché et théorème des résidus généralisé :

(1) Indices;
(2) Formule des résidus généralisée;
(3) Stabilité du nombre de zéros;
(4) Approximation par des fractions rationnelles.

VI. Représentation conforme :

(1) Equivalence conforme;
(2) Compacité dans l’espace des fonctions holomorphes;
(3) Théorème de représentation conforme;
(4) Caractérisation des ouverts simplement connexes du plan;
(5) Continuité au bord de l’application de Riemann.

VII. Revêtements, fonctions modulaires et valeurs des fonctions holomorphes :

(1) Introduction aux revêtements;
(2) Revêtement universel et classification;
(3) Revêtement modulaire de C-{0,1};
(4) Théorèmes de Picard.

VII. Fonctions harmoniques :

(1) Fonctions harmoniques et holomorphes;
(2) Propriétés élémentaires;
(3) Formule de Green-Riesz;
(4) Problème de Dirichlet.

VIII. Fonctions elliptiques et modulaires :

(1) Définition et propriétés;
(2) Fonction p de Weierstrass;
(3) Fonctions et formes modulaires;
(4) Zéros et pôles des fonctions modulaires;
(5) Algèbre des formes modulaires;
(6) Fonction j;
(7) Sommes de carrés.