Cet exposé portera sur un travail en collaboration avec T. Duyckaerts, C. Kenig, et F. Merle sur l’équation des ondes semi-linéaire. La première partie expliquera comment les solutions de l’équation des ondes linéaire se concentrent en temps grand autour du cône d’onde, prenant alors une forme particulière dite auto-similaire. Cela nous amènera au concept de solutions non radiatives – celles qui concentrent leur énergie uniquement à l’intérieur d’un cône d’onde. Nous établirons alors l’existence et la classification de toutes ces solutions non-radiatives pour le problème non linéaire, en fonction de leur comportement à l’infini.
Dans la seconde partie, nous nous concentrerons sur l’équation des ondes quadratique en six dimensions, pour laquelle le problème est critique pour l’énergie. Dans le cas radial, il existe un unique état stationnaire à invariance d’échelle près. Nous expliquerons comment toute solution à symétrie radiale bornée dans la norme d’énergie se décompose asymptotiquement en temps grand en la somme d’états stationnaires modulés et d’une radiation. L’analyse présentée dans la première partie de l’exposé sera alors une des clés principales de la preuve, permettant d’établir des estimations et d’obtenir de la rigidité pour certaines solutions.