Géométrie des sommes de carrés

Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en démontrant qu’un polynôme en n variables à coefficients réels qui est positif est somme de carrés de fractions rationnelles. Pfister a spectaculairement amélioré cet énoncé en montrant qu’il est en fait somme d’au plus 2^n carrés de fractions rationnelles. Peut-on encore améliorer le théorème de Pfister ? Dans cet exposé, nous survolerons ces questions, et expliquerons des progrès récents et des problèmes ouverts, en mettant l’accent sur l’influence de la géométrie.