Le dixième problème de Hilbert (H10), énoncé en 1900, pose la question de l’existence d’un algorithme qui décide si un polynôme donné (à plusieurs variables sur Z) a une solution dans Z. Les travaux de Davis, Matiyasevich, Putnam, et Robinson aboutirent en 1970 à la conclusion qu’un tel algorithme ne peut pas exister — une solution négative à H10. Depuis, un ensemble de travaux ont posé la question analogue dans de nombreux autres anneaux et corps, en cherchant des solutions dans un anneau R mais parfois aussi parfois en considérant des équations à coefficients dans R.
Dans cet exposé, j’introduirai H10, discuterai brièvement la solution négative pour Z, puis me concentrerai sur les développements récents, à la fois dans le monde « global » des corps finiment engendrés (en particulier le cas important de R = Q) et de leurs sous-anneaux, ainsi que dans le monde plus « local » des corps valués henséliens et de leurs anneaux de valuation.