La topologie quantique est une branche de la topologie en petite dimension née il y a 30 ans environs avec la découverte du polynôme de Jones, probablement l’invariant de noeuds dans l’espace le plus fameux aujourd’hui. Les techniques et les idées qui sont à la base de cette théorie se situent au milieu de plusieurs sujet : la physique (par la théorie des champs), l’algèbre (par la théorie des représentations des groupes quantiques), la géométrie (par l’étude des espaces des représentations des groupes de surfaces) et bien évidemment la topologie. Le but de cet exposé est de donner une petite introduction à ce sujet en choisissant une approche élémentaire et combinatoire due à Louis Kauffman. Après avoir rappelé ce qu’est un noeud dans l’espace et quels sont les outils principaux qui permettent d’étudier ces objets on donnera une définition du polynôme de Jones (avec exemples) et de ses généralisations (polynômes de Jones coloriés). Cela nous permettra d’énoncer deux importantes conjectures ouvertes sur ces objets. Puis si le temps le permettra nous étendrons la définition des polynômes de Jones au cas des graphes et nous définirons les « réseaux de spin quantiques ; au dépit du nom décourageant, nous verrons que ces objets admettent une définition élémentaire et nous motiverons leur étude par des questions classiques posées par les physiciens il y a désormais 50 ans.
- ANNÉE 2011-2012
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