GL : Points rationnels sur les courbes elliptiques

Une courbe elliptique est – en gros – l’ensemble des solutions d’une équation de degré 3 à 2 variables à coefficients entiers, par exemple y^2-x^3+2=0. Ces courbes occupent une place centrale en géométrie algébrique, en théorie des nombres et en géométrie arithmétique. Ce groupe de travail suivra principalement le livre The Arithmetic of Elliptic Curves de Silverman et aura pour objectif de comprendre la structure du groupe des points (solutions) rationnels d’une courbe elliptique.
Après une introduction aux équations de Weierstrass et à la loi de groupe, nous étudierons les invariants fondamentaux des courbes elliptiques, les isogénies, les courbes elliptiques sur les corps finis et leur uniformisation complexe. Une attention particulière sera portée à la théorie des hauteurs et à la preuve du théorème de Mordell–Weil, qui affirme que le groupe des points rationnels est de type fini. Si le temps le permet, d’autres sujets plus avancés peuvent être abordés.

Bibliographie :
– Une introduction élémentaire (UTM): Rational points on elliptic curves, J. H. Silverman, J. T. Tate.
– Une introduction plus poussée (GTM): The arithmetic of elliptic curves, J .H. Silverman.