GT : Des harmoniques sphériques aux formes modulaires : la correspondance thêta pour O(n) × Mp₂(ℝ)

Soit V un espace euclidien de dimension n. Le groupe orthogonal O(V) ≃ O(n) agit naturellement sur l’espace Pol(V) des polynômes V → ℂ. Cette action n’est pas du tout irréductible, par exemple elle préserve le degré des polynômes. Mieux, elle commute à l’action d’un sl₂-triplet « caché », obtenu en combinant le Laplacien de V, la multiplication par la norme au carré, et l’opérateur d’Euler. Le premier but de ce groupe de travail sera de décomposer Pol(V) en irréductibles sous l’action du produit O(V) × sl₂(ℝ), en suivant par exemple Weyl et Howe.

Il se trouve que Pol(V) n’est qu’un sous-espace (dense) de l’espace de Schwartz S(V) de V, via l’application O(V)-équivariante P(v) ↦ P(v) e^(-v·v). En général, la représentation de l’algèbre de Lie sl₂(ℝ) sur Pol(V) ⊂ S(V) ne s’intègre pas en une représentation de SL₂(ℝ) sur S(V), mais plutôt de son revêtement connexe à 2 feuillets, le groupe Mp₂(ℝ) (groupe métaplectique). Un second but sera d’étudier ce groupe et sa représentation naturelle sur S(V) (représentation dite « métaplectique », « d’oscillateur », « de Weil », ou « de Segal-Shale-Weil »…). Cette représentation éclaire de manière surprenante les propriétés algébriques de la transformée de Fourier classique sur S(V) (quel est le cube de la transformation f(x) ↦ f̂(x) e^(iπ x^2) sur S(ℝ) ?).

Pour finir, nous verrons une application importante de ces notions à la théorie des nombres. Soit L un réseau de V supposé entier, c’est-à-dire vérifiant u·v ∈ ℤ pour tous u,v ∈ L. Soit P ∈ Pol(V) un polynôme harmonique de degré d. Alors la série génératrice ∑_{v ∈ L} P(v) q^(v·v) est une forme modulaire de poids d + n/2 pour un sous-groupe de congruence de SL₂(ℤ) (Jacobi, Hecke).

Autres thèmes abordés : Algèbres de Lie, représentations des groupes topologiques compacts (comme O(n)) et non compacts (comme SL₂(ℝ)), groupe de Heisenberg, groupe symplectique, représentation métaplectique sur un corps fini, formes modulaires.

Prérequis : Algèbre 1, analyse complexe, cours d’analyse harmonique de la pré-rentrée.

Références :

• D. Bump, Automorphic Forms and Representations (Cambridge University Press, 1997).
• W. Ebeling, Lattices and Codes: A Course Applied to Cryptography (Springer, 2013).
• G. B. Folland, Harmonic Analysis in Phase Space (Princeton University Press, 1989).
• R. Goodman & N. R. Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants (Springer, 2009).
• R. Howe, θ-series and invariant theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. 33, 1979).
• R. Howe, On the role of the Heisenberg group in Harmonic analysis (Bull. AMS, 1980).