GT : La correspondance de Riemann-Hilbert pour les surfaces de Riemann
Au sujet de ce cours
A un système différentiel sur C\S, avec S fini, on peut associer une représentation complexe de π1(C\S), appelée sa représentation de monodromie. Le 21ème problème de Hilbert pose la question de la réciproque : Etant donné une telle représentation, existe-t-il une équation dont c’est la monodromie. La réponse est positive, et elle fournit une équivalence assez édifiante entre des objets de nature algébrique ou analytique et des objets de nature purement topologique.
On passera en revue la théorie sur C suivant le livre de Sauloy, puis on s’intéressera à la généralisation de la correspondance à une surface de Riemann quelconque, qui implique des objets plus compliqués. Selon l’avancement, on pourra également continuer vers notion de groupe fondamental tannakien, ou étudier l’algébrisation de fibrés analytiques dans le contexte de la correspondance.
Références :
J. Sauloy. Differential Galois theory through Riemann-Hilbert Correspondence : an introduction.
M. F. Singer et M. Van der Put. Galois Theory of Linear Differential Equations.