GT : Limites de champs moyen – des systèmes de particules en interactions aux EDP

Lorsque l’on étudie un système de $N$ particules en interaction, à mesure que $N$ devient grand, les dynamiques microscopiques deviennent de plus en plus difficiles à prédire et de moins en moins pertinentes pour connaitre le comportement moyen du système. Pour étudier celui-ci, on remplace alors le système de N équations différentielles ordinaires ou stochastiques par une équation aux dérivées partielles (EDP), dite limite de champ moyen.
Si l’étude de ces EDP est un champ de recherche à part entière, l’objet de ce groupe de travail est d’étudier le passage à la limite $N \to \infty$ et le sens à donner à l’affirmation « le système de $N$ particules converge vers l’EDP de champ moyen ». Cette étude a été initiée par Boltzmann au XIXe siècle pour l’étude de la dynamique des gaz et continue d’être l’objet de recherches actives en lien avec divers domaines de la physique, de la biologie ou encore pour résoudre des problèmes d’optimisation.

L’objectif de ce groupe de travail est d’explorer une sélection d’articles marquants publiés au cours des trente dernières années sur ce thème, à la frontière entre l’analyse fonctionnelle, l’analyse des EDP, les probabilités et les statistiques. Nous nous intéresserons notamment aux questions de propagation du chaos, de convergence des mesures empiriques et des distribution marginales à $k$ points. Ce groupe de travail sera aussi l’occasion de découvrir divers types de dynamiques — systèmes du premier et du second ordre — ainsi qu’une large gamme d’interactions, depuis les noyaux réguliers jusqu’à des interactions singulières mais physiquement pertinentes, comme l’interaction coulombienne et les EDP limites associées.
Nous y introduirons différents outils permettant de quantifier ces phénomènes de convergence : distance de Wasserstein, entropie relative, information de Fisher relative, énergie modulée, utiles à bien d’autres fins que l’étude des limites de champs moyen.

Bibliographie :

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[7] Hauray, M., Jabin, PE. N-particles Approximation of the Vlasov Equations with Singular Potential. Arch Rational Mech Anal 183, 489–524 (2007). https://doi.org/10.1007/s00205-006-0021-9