GT : Théorie cinétique et applications

La théorie cinétique constitue un cadre mathématique et physique visant à décrire l’évolution d’un système composé d’un très grand nombre de particules en passant d’une dynamique microscopique déterministe à une description macroscopique statistique. Elle repose sur l’introduction d’une fonction de distribution dans l’espace des phases, dont l’évolution est gouvernée par des équations telles que l’équation de Boltzmann, obtenue à partir de la dynamique hamiltonienne via des limites de grand nombre et des hypothèses de décorrélation (chaos moléculaire). Cette théorie permet d’expliquer l’émergence de phénomènes irréversibles, comme la production d’entropie, à partir de lois fondamentales réversibles, et sert de pont rigoureux vers les équations de la mécanique des fluides (Euler, Navier–Stokes) dans certains régimes asymptotiques. Elle soulève des questions mathématiques profondes, notamment sur la justification des modèles, la propagation du chaos et les limites hydrodynamiques.

Dans ce groupe de travail, on s’attachera d’abord à mettre en place rigoureusement les objets fondamentaux de la théorie cinétique, en partant de la dynamique microscopique pour introduire les fonctions de distribution et dériver les équations clés telles que l’équation de Liouville, la hiérarchie BBGKY et, sous des hypothèses appropriées, l’équation de Boltzmann. On présentera ensuite les principaux résultats mathématiques du domaine, notamment les propriétés structurelles de l’équation de Boltzmann (conservations, théorème H), ainsi que des résultats de justification comme le théorème de Lanford et les notions de propagation du chaos. Une attention particulière sera portée aux mécanismes de passage à l’échelle menant aux équations hydrodynamiques. Enfin, on explorera plusieurs directions d’application, en particulier aux plasmas via des modèles de type Vlasov–Poisson ou Vlasov–Maxwell, ainsi qu’à des systèmes issus de la biologie (dynamique de populations, modèles de taxis ou d’interactions collectives), afin d’illustrer la portée et la flexibilité du formalisme cinétique.

Références :
– C. Cercignani, R. Illner et M. Pulvirenti. The mathematical theory of dilute gases, 1994.
– R.T. Glassey. The Cauchy problem in kinetic theory, 1996.
– C. Villani. A review of mathematical topics in collisional kinetic theory, 2002.