GT : Théorie de Hodge pour les matroïdes

Un matroïde est un objet purement combinatoire qui abstrait les relations de dépendance linéaire entre une collection finie de vecteurs. On peut aussi associer un matroïde à tout graphe fini, et penser à la théorie des matroïdes comme à une généralisation de la théorie des graphes. Ce groupe de travail commencera par une introduction générale à la théorie des matroïdes.
Adiprasito, Huh et Katz ont associé à tout matroïde une algèbre graduée : son anneau de Chow. Ils ont de plus démontré des propriétés de non-dégénérescence et de positivité de la multiplication dans cette algèbre (dualité de Poincaré, théorème de Lefschetz vache, relations de Hodge-Riemann). Ces propriétés (et leurs noms) sont inspirées par la géométrie algébrique complexe (où l’on dispose de résultats analogues pour l’anneau de cohomologie des variétés projectives complexes), mais leurs preuves sont purement combinatoires. On présentera ces travaux ainsi que des applications en théorie des matroïdes, qui sont déjà non triviales dans le cas des graphes (e.g. log concavité de la suite des coefficients du polynôme chromatique).

Bibliographie:
J. Oxley, Matroid Theory, Second edition, Oxford Graduate Texts in Mathematics, 2011.
K. Adiprasito, J. Huh, E. Katz, Hodge theory for combinatorial geometries, Annals of Mathematics 2018 (188), 381-452.
A. Chambert-Loir, Relations de Hodge-Riemann et combinatoire des matroïdes, Séminaire Bourbaki 2017-2018, exposé 1144.