GT : Théorie spectrale du Laplacien
Au sujet de ce cours
L’objectif de ce groupe de travail est d’étudier le Laplacien sur un ouvert $\Omega$ de $\R^d$. On s’intéressera particulièrement au spectre du Laplacien, c’est-à-dire à ses valeurs propres.
Plus précisément, on étudiera le Laplacien sur $\Omega$ muni de conditions de Dirichlet au bord. Cet opérateur est auto-adjoint et non borné. On commencera par définir cet opérateur, puis on discutera du principe min-max, qui permet d’étudier ses valeurs propres sans avoir à les calculer explicitement.
On démontrera la loi de Weyl, qui décrit le comportement asymptotique des valeurs propres. On discutera également de la célèbre question de Kac, « Can one hear the shape of a drum? », qui demande si les valeurs propres du Laplacien déterminent la forme de $\Omega$ à isométrie près.
Prérequis : Analyse fonctionnelle
Bibliographie:
– Phan Thành Nam. Functional Analysis II (2021), (https://www.math.lmu.de/~nam/LectureNotesFA2021.pdf)