GT : Transport optimal – géométrie et statistique

En 1781, Gaspard Monge publie son Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais, dans lequel il étudie comment déplacer un tas de sable d’un lieu à un autre de manière « optimale ». Presque deux siècles plus tard, dans les années 1940, Leonid Kantorovitch reformule le problème, cette fois pour allouer de manière optimale des ressources en économie. Il prouve l’existence de solutions et le prix Nobel d’économie lui est décerné en 1975 pour ces travaux. Le « transport optimal » était né.

Offrant un cadre idéal pour comparer des mesures de probabilité, le transport optimal est aujourd’hui l’objet de nombreux travaux aussi bien théoriques qu’appliqués, aussi bien en analyse, probabilités ou statistiques, et trouve des applications importantes dans des domaines inattendus. Depuis une quinzaine d’années, des progrès cruciaux ont également été établis dans le calcul numérique des solutions du transport optimal, le rendant utilisable pour comparer, interpoler ou aligner des distributions de probabilité.

En science des données, le transport optimal soulève de nombreuses questions statistiques nouvelles, concernant par exemple la vitesse de convergence de certaines quantités aléatoires (comme les distances de Wasserstein entre distributions empiriques) et la dépendance de ces vitesses vis-à-vis de la dimension. Récemment, il a commencé à jouer un rôle crucial dans l’interprétation et l’analyse des modèles dits génératifs.

Dans ce groupe de travail, on commencera dans une première partie par introduire le problème en se basant sur les monographies Topics in Optimal Transportation de C. Villani et Optimal Transport for Applied Mathematicians de F. Santambrogio, qui proposent des introductions approfondies à la théorie pour un lectorat de mathématiciens. On étudiera les formulations de Monge et de Kantorovitch, l’existence et l’unicité de solutions, ainsi que la géométrie des espaces de Wasserstein. Dans un deuxième temps, on s’attaquera à la lecture des notes de cours Statistical Optimal Transport écrites par S. Chewi, J. Niles-Weed et P. Rigollet (Ecole d’Eté de Probabilités de Saint-Flour, 2024). On abordera notamment la question de l’estimation statistique des distances de Wasserstein et des applications de transport. On finira avec l’étude des flots de gradient dans l’espace de Wasserstein et leurs applications en science des données.

Bibliographie :

– Topics in optimal transportation, Cédric Villani, American Mathematical Society, 2003.
– Optimal Transport for Applied Mathematicians, Filippo Santambrogio, Springer, 2015 (https://math.univ-lyon1.fr/~santambrogio/OTAM-cvgmt.pdf)
– Statistical Optimal Transport, Sinho Chew, Jonathan Niles-Weed, Philippe Rigollet, 2024. https://arxiv.org/pdf/2407.18163
– Computational Optimal Transport: With Applications to Data Science, Gabriel Peyré and Marco Cuturi, Foundations and Trends in Machine Learning, 2019 (https://optimaltransport.github.io/).