CA : Thèmes de dynamique en dimension 1 et 2

La dynamique en petite dimension est un sujet offrant de nombreux exemples à la fois riches et éclairants. Le programme du cours sera assez souple mais basé sur le déroulé suivant :

1) Étude des rotations du cercle et leur renormalisation. Ce sujet d’apparence anodine fait en fait intervenir des propriétés subtiles d’approximation diophantienne et sera l’occasion d’étudier le développement en fraction continue.

2) Une première généralisation du point précédent : les échanges d’intervalles et flots linéaires sur les surfaces plates. On parlera là aussi de renormalisation, dite de Rauzy-Veech. Ces techniques permettent d’étudier le flot géodésique sur l’espace des réseaux du plan. Si le temps le permet, on démontrera le théorème de Lévy sur les dénominateurs des réduites des développements en fraction continue.

3) Étude générale des flots en dimension 2, théorie de Poincaré-Bendixson (un thème plus géométrique/topologique). Section de Poincaré, d’où

4) l’étude des homéomorphismes du cercle et leur théorie de la rotation (qui est également une généralisation du point 1)). Classification topologique de Poincaré (encore lui !) et son amélioration très analytique par Denjoy, contre-exemple en petite régularité. Si le temps le permet, étude du problème de conjugaison lisse et théorème KAM.

Voici quelques autres thèmes qui pourront être abordés lors des exposés :

* La théorie ergodique des applications dilatantes du cercle et en particulier l’existence d’une unique mesure absolument continue par rapport à Lebesgue « la plupart des orbites se répartit uniformément ».

* La théorie de Brouwer des homéomorphismes du plan : si un homéo possède un point périodique, alors il a un point fixe.

Bibliographie :

https://www.ucl.ac.uk/~ucahsgh/cdln.pdf
https://www.labri.fr/perso/vdelecro/Salta2015-notes.pdf
https://biaa.eu/-upload/articleno108.pdf
https://w3.impa.br/%7Eviana/out/sdds.pdf
https://www.math.univ-paris13.fr/~bonino/Grenoble06.pdf