La recherche

We introduce a numerical strategy to study the evolution of two-dimensional water waves in the presence of a plunging jet. The free-surface Navier–Stokes solution is obtained with a finite, but small, viscosity. We observe the formation of a surface boundary layer where the vorticity is localised. We highlight convergence to the inviscid solution. The effects of dissipation on the development of a singularity at the tip of the wave is also investigated by characterising the vorticity boundary layer appearing near the interface.

When considering statistical mechanics models on trees, such that the Ising model, percolation, or more generally the random cluster model, some concave tree recursions naturally emerge. Some of these recursions can be compared with non-linear conductances, or $p$-conductances, between the root and the leaves of the tree. In this article, we estimate the $p$-conductances of $T_n$, a supercritical Galton-Watson tree of depth $n$, for any $p>1$ (for a quenched realization of $T_n$). In particular, we find the sharp asymptotic behavior when $n$ goes to infinity, which depends on whether the offspring distribution admits a finite moment of order $q$, where $q=\frac{p}{p-1}$ is the conjugate exponent of $p$. We then apply our results to the random cluster model on~$T_n$ (with wired boundary condition) and provide sharp estimates on the probability that the root is connected to the leaves. As an example, for the Ising model on $T_n$ with plus boundary conditions on the leaves, we find that, at criticality, the quenched magnetization of the root decays like: (i) $n^{-1/2}$ times an explicit tree-dependent constant if the offspring distribution admits a finite moment of order $3$; (ii) $n^{-1/(\alpha-1)}$ if the offspring distribution has a heavy tail with exponent $\alpha \in (1,3)$.

L'équation de Boltzmann, introduite par J.C. Maxwell et L. Boltzmann à la fin du XIXème siècle décrit l'évolution d'un gaz au niveau moléculaire à l'aide d'un point de vue statistique. Plus précisément, au lieu de considérer la position et la vitesse exactes de chacune des particule constituant le gaz, on s'intéresse à leurs répartitions statistiques pour une particule typique (on parle de point de vue mésoscopique ou cinétique). En 1900, D. Hilbert présenta à l'occasion du Congrès international des mathématiciens une liste de 23 problèmes, le sixième s'intitulant "Problème d'axiomatisation de la physique". Dans le cas de la mécanique des fluides, il consiste en la dérivation des équations hydrodynamiques (point de vue macroscopique) à partir des équations cinétiques (point de vue mésoscopique), qui doivent elles-même être dérivées des équations de Newton appliquées à l'ensemble des particules constituant le gaz (point de vue microscopique). Il s'avère qu'une solution de Boltzmann proche d'un équilibre spatialement homogène se comporte comme la somme de celui-ci et d'une perturbation dont la dynamique est dictée par les équations de Navier-Stokes. Ce fait a été démontré rigoureusement entre les années 1990 et 2000 dans une série d'articles par C. Bardos, F. Golse, D. Levermore et L. Saint-Raymond. Cependant les outils utilisés nécessitaient que la donnée initiale pour l'équation de Boltzmann décroisse comme une gaussienne par rapport à la variable de vitesse, ce qui est très loin des hypothèses physiquement pertinentes d'avoir une décroissance polynomiale d'ordre 2 (masse et énergie finie). Les travaux de C. Mouhot, M.P. Gualdani et S. Mischler entre 2005 et 2017 ont développé une "théorie d'élargissement (d'espaces fonctionnels)" permettant de construire des solutions pour l'équation de Boltzmann pour des données initiales avec une décroissance polynomiale. Les deux premiers travaux de cette thèse traitent de la dérivations des équations de Navier-Stokes depuis l'équation de Boltzmann pour de telles données initiales. La dernière partie de cette thèse, en collaboration avec K. Carrapatoso, ne concerne pas la dérivation des équations de Navier-Stokes, mais l'existence de solutions pour l'équation de Boltzmann, toujours pour des données initiales ayant une décroissance polynomiale, et sans négliger la "singularité angulaire" présente dans l'opérateur de collisions. En effet, une des principales difficultés mathématiques de l'équation de Boltzmann provient des interactions entre paires de particules "éloignées". Considérées individuellement, elles n'influent que peu sur les vitesses des particules, mais sont extrêmement nombreuses, ce qui se traduit par la présence de la "singularité angulaire" dans l'opérateur modélisant leur effet. Cette difficulté est responsable de la très lente évolution de la théorie mathématique de l'équation de Boltzmann. C'est en 1963 que H. Grad proposa une façon de négliger cette singularité, menant à une progression rapide de notre compréhension de cette équation. Cette singularité angulaire n'est cependant pas anodine, elle procure entre autre un effet régularisant à l'équation, et a été étudiée dans de nombreux travaux à partir des années 1990.