Si on considère par exemple f(x)=1/4 +3x^2/4, il est facile de voir que six>1 alors f_n(x)=f(f(…(f(x)))) forme une suite monotone croissante vers $+infty$ à vitesse super-exponentielle. Ce qui est moins évident est le fait que cette croissance cache un phénomène périodique surprenant, mis en évidence (ou, plutôt, conjecturé) par T. Harris dans son travail fondamental sur les arbres de Galton-Watson [H]. Ces oscillations sont très petites : on peut les observer assez aisément avec les ordinateurs dont nous disposons aujourd’hui mais une compréhension mathématique satisfaisante manque. Le même phénomène a fait surface plus tard, et parfois de façon indépendante, dans plusieurs domaines des mathématiques.Les physiciens ont découvert (ou redécouvert) le même phénomène dans une variétéde contextes, notamment en essayant de trouver des modèles pour lesquels la transformation de renormalisation pouvait se faire de façon explicite.
Le but de mon exposé est de présenter ce phénomène pourle cas de Galton-Watson et pour un modèle hiérarchique de la mécanique statistique,et de montrer le lien directe avec à la géométrie de l’ensemble de Julia de $f$ (ce lien a été conjecturé en physique [DIL]).
Suggestions de lecture :La phénoménologie extrêmement vaste des ensembles de Julia rend la littérature difficile à aborder : une introduction assez élémentaire est dans la partie III de [D].Pour les arbres de Galton-Watson :fr.wikipedia.org/wiki/Processus_de_Galton-Watson
Pour le modèle hiérarchique de l’exposé il suffit de lire la page 1201 de
www.lps.ens.fr/~derrida/PAPIERS/1992/wetting.pdf
[D] R. L. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Second edition, Westview Press (2003).
[DIL] B. Derrida, C. Itzykson and J. M. Luck, Oscillatory critical amplitudes in hierarchical models, Commun. Math. Phys. 94 (1984), 115-132.
[H] T. E. Harris, Branching processes, Ann. Math. Statist. 41 (1948), 474-494.