Les systèmes vivants sont caractérisés par leur variabilité qui conduit à une constante évolution. Cela peut s’expliquer, dans une vision très simplifiée, par trois ingrédients: (i) L’environnement fournit des resources partagées par tous les individus, (ii) un ‘trait physiologique’ caractérise l’adaptation des individus au milieu c’est-à-dire la capacité à utiliser un certain niveau de ressource,(iii) des mutations permettent à de nouveaux types d’individus d’apparaitre, peut-être mieux adaptés, et qui vont ainsi se développer plus vite et changer l’environnement…etc
Plusieurs théories mathématiques ont été proposées pour décrire la dynamique engendrée par l’interaction entre un environnement qui effectue une sélection des ‘traits’ et les mutations. Ces théories peuvent être de nature probabiliste au niveau des individus, faire appel aux systèmes dynamiques ou à la théorie des jeux en considérant les traits comme des stratégies. Du point de vue populationnel, on représente la dynamique de la population grâce à des équations intégro-différentielles ou des équations aux dérivées partielles nonlocales.
Nous avons développé une approche asymptotique pour décrire l’évolution de la population (et de la quantifier) en supposant les mutations ‘petites’ et l’échelle de temps longue. Ceci fait apparaître un objet mathématique nouveau: l’équations de Hamilton-Jacobi sous contrainte.
Lectures conseillées :
B. Perthame, Transport equations arising in biology, Lecture Note’. Birkhauser (2007).
G. Raoul. Thèse, ENS Cachan, 2010. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/gr322/