Titre : Stabilité et instabilité des trous noirs anti-de Sitter

Orateur : Olivier Graf

Mini-cours : Dans une première partie j’introduirai les équations d’Einstein (qui s’apparentent à un système d’équations d’onde quasi-linéaires) et les espaces anti-de Sitter, Schwarzschild et Kerr-anti-de Sitter. Ces espaces sont des solutions stationnaires d’un problème de Cauchy à bord pour les équations d’Einstein. Dans cet exposé on s’intéressera à la stabilité linéaire de ces solutions pour ce problème de Cauchy à bord.
Une première étape est de comprendre le comportement asymptotique des solutions de l’équation d’onde avec des conditions au bord de type Dirichlet ou Neumann homogène. Aussi, dans une deuxième partie, je ferai quelques calculs élémentaires sur l’espace de Schwarzschild-anti-de Sitter qui permettent d’obtenir une loi de conservation de l’énergie et une estimation dite de red-shift — qui sont des estimations classiques en relativité générale –. Ensuite je revisiterai un travail de Holzegel-Smulevici pour obtenir des estimations de type Carleman. On en déduira une borne supérieure sur la décroissance des solutions de l’équation d’onde. Finalement, je construirai des quasi-modes pour cette équation (en suivant un autre travail de Holzegel-Smulevici), dont on déduira que la borne supérieure précédemment obtenue est optimale.

Exposé : Dans une première partie je présenterai un travail en commun avec Gustav Holzegel où nous obtenons un résultat de stabilité linéaire de l’espace de Schwarzschild-anti-de Sitter pour les équations d’Einstein. Le système des équations d’Einstein linéarisées est gouverné par deux équations dites de Teukolsky. Sur l’espace de Schwarzschild-anti-de Sitter on peut dériver des équations de Teukolsky deux équations d’ondes découplées, appelées équations de Regge-Wheeler. Pour les équations de Regge-Wheeler, on pourra appliquer les résultats vus dans le mini-cours à quelques différences notables près que j’expliciterai. J’expliquerai ensuite comment déduire un résultat pour le système des équations d’Einstein linéarisées.
Dans le cas plus général des espaces de Kerr-anti-de Sitter, l’approche employée précédemment ne s’applique pas pour plusieurs raisons : 1) dans un certain régime de paramètres, il n’y a pas de conservation de l’énergie pour l’équation d’onde — un phénomène connu sous le nom de superradiance –, 2) on ne peut plus dériver des équations d’onde découplées de type Regge-Wheeler à partir des équations de Teukolsky qui gouvernent les équations d’Einstein. Dans ce contexte, je présenterai un résultat de stabilité modale pour ces équations de Teukolsky en absence de superradiance (travail en commun avec Gustav Holzegel). Je présenterai ensuite un résultat d’instabilité pour les équations de Teukolsky en présence de superradiance.