Probabilités et statistiques

Les projections aléatoires constituent une technique de réduction de dimension simple et efficace en apprentissage automatique non supervisé. Elles reposent sur l'existence de quasi-immersions pour un ensemble de points d'un espace euclidien de haute dimension vers un espace de dimension inférieure. Nous proposerons une présentation du lemme de Johnson-Lindenstrauss centrée sur la notion de variable sous-gaussienne, puis nous discuterons de la meilleure manière de construire des projections simples, et en particulier creuses.

Les projections aléatoires constituent une technique de réduction de dimension simple et efficace en apprentissage automatique non supervisé. Elles reposent sur l'existence de quasi-immersions pour un ensemble de points d'un espace euclidien de haute dimension vers un espace de dimension inférieure. Nous proposerons une présentation du lemme de Johnson-Lindenstrauss centrée sur la notion de variable sous-gaussienne, puis nous discuterons de la meilleure manière de construire des projections simples, et en particulier creuses.

Les projections aléatoires constituent une technique de réduction de dimension simple et efficace en apprentissage automatique non supervisé. Elles reposent sur l'existence de quasi-immersions pour un ensemble de points d'un espace euclidien de haute dimension vers un espace de dimension inférieure. Nous proposerons une présentation du lemme de Johnson-Lindenstrauss centrée sur la notion de variable sous-gaussienne, puis nous discuterons de la meilleure manière de construire des projections simples, et en particulier creuses.

Motivé par l'étude des gaz de Coulomb 2d, dont le portrait de phase demeure largement mystérieux, je présenterai trois critères “d'ordre dans le désordre” pour des processus ponctuels: hyperuniformité, rigidité à la Ghosh-Peres, et distance de transport à la mesure de Lebesgue. Je mentionnerai quelques implications générales entre ces notions, et tâcherai de les illustrer par des exemples “concrets” et parfois surprenants. 13 octobre 2025. Titus Lupu (CNRS, SU/LPSM). Lien entre la renormalisation de Wick et la géométrie fractale.

Le champ libre gaussien (CLG) en dimension 2 est une fonction généralisée aléatoire qui n'admet pas de valeurs ponctuelles. On ne peut pas définir directement ses puissances, mais il y a une procédure de renormalisation par compensation polynomiale qui permet de définir les puissances de Wick. D'un autre côte, même si le CLG n'a pas de valeurs ponctuelles, on peut définir, via la théorie des processus SLE, ses ensembles de niveau et les composantes connexes de ses ensembles. Ce sont des fractals logarithmiques aléatoires. Dans mon exposé je vais montrer […]

Étant donné un graphe connexe infini G, on construit un sous-graphe aléatoire de G avec densité p en supprimant chaque arête indépendamment avec une probabilité 1-p. Une question fondamentale en théorie de la percolation est de savoir pour quels graphes G il existe une composante connexe infinie dans ce sous-graphe aléatoire pour p suffisamment proche de 1. Un argument classique dû à Peierls dit que c'est le cas dès qu'il existe une borne supérieure exponentielle sur le nombre d'ensembles de coupures minimales dans le graphe. Notre premier théorème a établi […]

Les Beta-ensembles sont une famille de mesures de probabilités sur Rn apparaissant naturellement dans l'étude de certains modèles de matrices aléatoires – les plus connus d'entre eux étant les ensembles invariants orthogonaux : Gaussian Orthogonal Ensemble, resp. Unitary ou Symplectic. Ces mesures se généralisent naturellement à des contextes plus larges, et leur étude se retrouve à la croisée de divers domaines des probabilités: matrices aléatoires, donc, mais aussi physique statistique, combinatoire, systèmes intégrables, etc. Je présenterai quelques aspects de leur étude, en parlant notamment d'une remarquable représentation tridiagonale, de grandes […]

The global fluctuations in models from random matrix theory, random tilings, and non-colliding particle systems are often governed by log-correlated Gaussian fields. In this talk, I will present an operator-theoretic viewpoint based on Jacobi (and CMV) matrices for a broad class of determinantal point processes associated with orthogonal polynomials. Instead of analyzing correlation functions and their asymptotics, this approach captures fluctuations efficiently through the spectral data of the underlying Jacobi operator. The emergence of log-correlated fields can then be traced back to deep results in analysis, such as the Strong […]

Il existe des objets mathématiques paraissant tout à fait distincts, comme certaines matrices aléatoires, une dynamique de populations, une équation aux dérivées partielles stochastique ou encore la fonction Zeta de Riemann, qui partagent des propriétés asymptotiques analogues. Ce qui les relie est l’apparition d’un champ log-corrélé décrivant leurs statistiques à grande échelle, ou de manière équivalente, l’existence d’une structure de marche branchante sous-jacente. Dans cet exposé, j’introduirai certains de ces modèles et tenterai de présenter leurs similitudes ainsi qu’une sélection de résultats connus.

Le problème d’Ulam consiste à déterminer la longueur de la plus longue sous-suite croissante d’une permutation aléatoire de taille n. Diverses méthodes ont permis de montrer que cette longueur est asymptotiquement équivalente à 2\sqrt{n}. Dans cet exposé, je présenterai une preuve de Cator et Groeneboom reposant sur un couplage probabiliste avec un modèle stationnaire. Je montrerai également comment cette approche peut être adaptée pour traiter d’autres problèmes connexes.

L'objectif de la prédiction séquentielle probabiliste est de prédire une suite d'observations révélées une à une, en leur attribuant des probabilités aussi élevées que possible. Ce problème classique en apprentissage et en théorie de l'information est étroitement lié au codage universel et, plus récemment, à la prédiction du prochain token pour les modèles de langage. Dans cet exposé, je rappellerai d'abord des résultats classiques dus à Shtarkov et Rissanen dans les années 80–90. Une question centrale consiste à relier la complexité du problème à la "géométrie" du modèle sous-jacent. Pour […]

Le problème d’Ulam consiste à déterminer la longueur de la plus longue sous-suite croissante d’une permutation aléatoire de taille n. Diverses méthodes ont permis de montrer que cette longueur est asymptotiquement équivalente à 2\sqrt{n}. Dans cet exposé, je présenterai une preuve de Cator et Groeneboom reposant sur un couplage probabiliste avec un modèle stationnaire. Je montrerai également comment cette approche peut être adaptée pour traiter d’autres problèmes connexes.