GT : Marches aléatoires branchantes

La marche aléatoire branchante est l’un des modèles fondamentaux pour décrire l’évolution d’une population (ou d’un système de particules) avec déplacements spatiaux. Son étude est naturelle en théorie des probabilités et est également motivée par de nombreuses applications en physique statistique, dans l’analyse des algorithmes aléatoires ainsi qu’en génétique des populations. Ce modèle peut être vu comme un processus de Bienaymé–Galton–Watson combiné à une dynamique spatiale. À la génération $0$, un unique individu est placé à l’origine. Celui-ci engendre une descendance dont les individus se déplacent dans ${\mathbb R}^d$ selon un processus ponctuel décrivant à la fois le nombre d’enfants et leurs positions spatiales. Ces individus constituent la première génération du processus. La même procédure est ensuite répétée pour chaque individu de cette génération, indépendamment des autres et selon la même loi de reproduction et de déplacement. Son analogue en temps continu, appelé mouvement brownien branchant (Branching Brownian Motion), est étroitement lié à l’étude des équations de Fisher–KPP. Ces deux modèles ont fait l’objet d’intenses recherches au cours des dernières décennies.

Dans ce groupe de travail, nous commencerons par l’étude des processus de Bienaymé–Galton–\break Watson, depuis l’approche classique par les fonctions génératrices jusqu’au point de vue moderne fondé sur les changements de probabilité introduits par Lyons, Pemantle et Peres (1995). Nous nous intéresserons ensuite à la marche aléatoire branchante (unidimensionnelle) et présenterons notamment l’étude de ses martingales additives et dérivées, de ses valeurs extrémales ainsi que, si le temps le permet, du maximum du champ gaussien libre.

Les prérequis se limitent aux notions élémentaires de probabilités, telles que l’espérance conditionnelle. Les processus étudiés (marche aléatoire, chaînes de Markov, martingales, processus de branchement) sont, pour la plupart, à temps discret.

Réréfences :
K.B. Athreya et P.E. Ney. Branching Processes. Springer-Verlag, 1972.
J. Bertoin et B. Mallein. Reinforced Galton–Watson processes I: Malthusian exponents. Random Sructures \& Algorithms. (2024) 387–410.
R. Lyons, R. Pemantle et Y. Peres. Conceptual Proofs of L log L Criteria for Mean Behavior of Branching Processes. Ann. Probab. (1995) 1125–1138.
Z. Shi. Branching Random Walks. Cours école d’été Saint-Flour 2012.
O. Zeitouni. Branching Random Walks and Gaussian Fields. Notes for lectures, 2020.