GT : Transport optimal et applications
Au sujet de ce cours
En 1781, Gaspard Monge publie son Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais, dans lequel il étudie comment déplacer un tas de sable d’un lieu à un autre de manière « optimale ». Presque deux siècles plus tard, dans les années 1940, Leonid Kantorovitch reformule le problème, cette fois pour allouer de manière optimale des ressources en économie. Il prouve l’existence de solutions et le prix Nobel d’économie lui est décerné en 1975 pour ces travaux. Le « transport optimal » était né.
Offrant un cadre idéal pour comparer des mesures de probabilité, le transport optimal est aujourd’hui l’objet de nombreux travaux aussi bien théoriques qu’appliqués, aussi bien en analyse qu’en probabilités, et trouve des applications importantes dans des domaines inattendus. Depuis une quinzaine d’années, des progrès cruciaux ont également été établis dans le calcul numérique des solutions du transport optimal, le rendant utilisable pour comparer, interpoler ou aligner des distributions de probabilité.
Dans ce groupe de travail, on se concentrera d’abord sur la lecture du livre « Optimal Transport for Applied Mathematicians », de Filippo Santambrogio, qui propose une introduction approfondie et accessible à la théorie du transport optimal pour un lectorat de niveau M1. On introduira les formulations de Monge et de Kantorovich, leurs versions duales, l’existence et l’unicité de solutions, le théorème de Brenier, et les propriétés des solutions. On étudiera en détail certains cas particuliers, comme la dimension 1 ou le transport entre mesures Gaussiennes. On se concentrera ensuite sur les distances de Wasserstein, leurs propriétés topologiques, et sur des problèmes dérivés comme la définition de barycentres pour ces distances, ou la minimisation de fonctionnelles sur les espaces de Wasserstein. Dans une dernière partie on pourra s’intéresser aux approches numériques de calcul des solutions du transport optimal et à des applications récentes dans le domaine de la science des données.
Bibliographie
- Optimal Transport for Applied Mathematicians, Filippo Santambrogio, Springer, 2015 (https://math.univ-lyon1.fr/~santambrogio/OTAM-cvgmt.pdf)
- Topics in optimal transportation, Cédric Villani, American Mathematical Society, 2003.
- Computational Optimal Transport: With Applications to Data Science, Gabriel Peyré and Marco Cuturi, Foundations and Trends in Machine Learning, 2019 (https://optimaltransport.github.io/)