Résumé (des 3 séances du minicours) :
1. EDP Hamiltoniennes
i) un premier exemple : l’équation des ondes
ii) définition générale
iii) la conservation d’énergie
iv) exemples supplémentaires
– l’équation de Schroedinger nonlinéaire (NLS)
– l’équation de Korteweg deVries (KdV)
– les systèmes de Boussinesq
– les ondes à la surface de l’eau
v) lois de conservations, et crochets de Poisson
2. Recurrence versus dispersion
i) cas compact – solutions périodiques, quasi-périodiques et presque périodiques
ii) cas non-compact
iii) structures cohérentes – solitons
3. Theorie de transformations
i) le Lagrangien, et la transformation de Legendre
ii) transformations canoniques et formes symplectiques
iii) transformations élementaires
iv) dérivations, à partir des ondes à la surface de l’eau – Boussinesq – KdV – NLS
4. Formes normales
i) analyse de l’operateur Dirichlet – Neumann
ii) la formule de variation de Hadamard
iii) résonances
iv) la forme normale de Birkhoff pour N = 3
v) les formes normales de Birkhoff de plus haut ordre, et une vision d’integrabilité