Percolation de premier passage avec temps de passage infinis : constante de temps, théorème de forme et continuité

Ce travail a été réalisé en collaboration avec Raphaël Cerf (DMA,ENS), Olivier Garet et Régine Marchand (IECL, Univ. Lorraine).Considérons le modèle de percolation de premier passage standard sur legraphe Z^d : aux arêtes e du graphe sont associées des variables (t(e))i.i.d. positives. La variable t(e) est appelée le temps de passage de e,c?RTMest le temps nécessaire pour traverser l?RTMarête e. Il en découle unepseudo-métrique aléatoire T sur le graphe : T(x,y) est le temps minimalnécessaire pour aller d?RTMun site x à un site y. Cette pseudo-métrique a étélargement étudiée. On peut montrer entre autres que- quelque soit le site x considéré,la limite quand n tend vers l?RTMinfini deT(0,nx)/n existe en un certain sens : on l?RTMappelle la constante de tempset on la note m(x),- cette convergence a lieu uniformément en la direction de x : c?RTMest lethéorème de forme asymptotique,- la constante m(x) dépend continûment de la loi des temps de passage.Que se passe-t-il si au lieu de considérer le modèle classique, onautorise les temps de passage des arêtes à être infinis ? Il fauts?RTMassurer que les arêtes de temps de passage fini percolent, i.e., onsuppose que l?RTMatome de la loi des temps de passage en l?RTMinfini estinférieur strictement à 1-p_c(d), le paramètre critique pour lapercolation de Bernoulli par arêtes dans Z^d. Cela revient à faire unepercolation de Bernoulli sur-critique sur Z^d, puis à associerindépendamment des temps de passage finis à chaque arête restante. Nousverrons comment généraliser les résultats précédents à ce type de lois destemps de passage.