Considérons une marche aléatoire (S_n)_n sur R dont les incréments sont des variables indépendantes de loi mu centrée, de variance finie. Indépendamment du choix de mu, les trajectoires de S convergent systématiquement lorsqu’on les renormalise vers la même trajectoire aléatoire : le mouvement brownien (c’est l’objet du fameux théorème de Donsker). En ce sens, le mouvement brownien est donc une limite d’échelle universelle d’une très large classe de modèles discrets de trajectoires aléatoires. De manière remarquable, un phénomène analogue existe pour d’autres classes de modèles discrets. Par exemple, de nombreux arbres plans aléatoires convergent après renormalisation (dans un sens que l’on précisera) vers le même arbre aléatoire « continu »: l’arbre brownien.

La géométrie brownienne est le domaine des probabilités étudiant ces limites d’échelles « universelles » de modèles géométriques aléatoires discrets. Notre objectif dans cet exposé est de donner une introduction accessible à ce champ d’étude. Nous y présenterons en particulier deux objets emblématiques de ce domaine : l’arbre brownien et les surfaces browniennes. Ce sont deux modèles d’espaces métriques aléatoires, respectivement limites de modèles d’arbres plans aléatoires et de graphes planaires aléatoires.