Approche Hamilton-Jacobi pour des modèles venant de la biologie évolutive

Nous nous intéressons à une classe d’équations intégro-différentielles paraboliques venant de la biologie évolutive. Ces équations décrivent la dynamique d’une population structurée par trait phénotypique sous l’effet des mutations et de la sélection. Les solutions de ces équations se concentrent, à la limite de petite diffusion (mutations) et en temps long, sous forme de masses de Dirac.Dans la première partie, nous présentons les ingrédients de base d’une approche basée sur des équations de Hamilton-Jacobi avec contrainte pour étudier ce type de problème.Dans la seconde partie, nous considérons un cadre plus restreint avec plus de régularité, où nous pouvons démontrer le caractère bien posé de l’équation de Hamilton-Jacobi avec contraint correspondante, et où nous pouvons obtenir une approximation assez précise de la distribution phénotypique de la population. Enfin, à travers quelques exemples, on montre comment cette approche peut mener à des résultats quantitatifs pour des applications en biologie.