Dans un article célèbre de 1937, Kolmogorov, Petrovskii et Piskunov démontrent, pour une équation de réaction-diffusion apparemment très simple, introduite par Fisher comme un modèle de dynamique des populations, la convergence de la solution issue de la fonction de Heaviside vers une solution d’onde progressive. Cette convergence a lieu dans un repère suivant celui de l’onde, modulo unecorrection sous-linéaire en temps. Ils ne précisent pas si ce shift tend vers une constante ou si un comportement moins trivial a lieu. Les équations similaires à celles étudiées par Kolmogorov, Petrovskii et Piskunov sont depuis connues sous le nom d’équations de type Fisher-KPP. Un pas a été franchi par Bramson au début des années 1980 dans la compréhension du shift : au rebours de la plupart des résultats connus dans les problèmes de convergence vers des ondes de réaction-diffusion, le shift est non trivial et se comporte, sur les grands temps, comme un logarithme. La démonstration repose sur des arguments probabilistes et des calculs très techniques. Le point de départ sera une démonstration très simple du résultat de Bramson, avec des outils d’EDP (travail en commun avec J. Nolen et L. Ryzhik). On expliquera ensuite qu’on peut s’en servir pour comprendre des situations moins simples. On discutera des questions suivantes : dynamique non triviale en 2 dimensions d’espace (travail en commun avec V. Roussier), développement asymptotique du shift (travail en commun avec J. Nolen et L. Ryzhik), shift non logarithmique dans les modèles inhomogènes en temps (travail en commun avec L. Rossi et L. Ryzhik).
- Séminaire Analyse non linéaire et EDP