La conjecture de torsion prédit que si k est un corps de nombre etA une variété abélienne sur k alors l’ordre du sous-groupe de torsion deA(k) est borné par une constante ne dépendant que du degré de k sur Q etde la dimension de A.Cette conjecture n’est connue que pour les courbes elliptiques: Manin l’amontré en 69 pour les l-Sylow de la torsion (l:premier) puis Mazur (77),Kamienny (92), Merel (96) ont réussi a compléter la preuve en analysant lastructure des courbes modulaires X_{0}(l) (l:premier).Que les courbes elliptiques soient (essentiellement) classifiées par unschéma elliptique sur P1 moins trois points intervient de façon crucialeà plusieurs endroit de la preuve.Avec Akio Tamagawa, nous nous intéressons à un énoncé intermédiaire entrela conjecture de torsion générale et le cas des courbes elliptiques: onconsidère une *courbe* S sur k, un schéma abélien A sur S et on essaye demontrer que l’ordre du sous-groupe de torsion de A_s(k(s)) est borné parune constante ne dépendant que du degré du corps résiduel k(s) en s sur Q(et de A). Comme dans le cas des courbes elliptiques, on peut scinder lepb en deux parties: à l premier fixé, borner uniformément (par uneconstante dépendant de l) l’ordre des l-sylow de la torsion et, pour ldécrivant l’ensemble des nombres premiers, borner uniformément (par uneconstante indépendante de l) l’ordre de la l-torsion .J’expliquerai d’abord comment la théorie du groupe fondamental étalepermet de reformuler le problème en termes de points rationnels surcertains revêtements étales S_n de la courbe de base S (les analogues descourbes modulaires Y_1(n)). L’étape suivante est de nature géométrique etconsiste à montrer que la gonalité ou, au moins, le genre, des courbe S_ntend vers l’infini avec n. On se pose le pb en toute caractéristique. Jedécrirai brièvement comment résoudre ce pb pour les courbes S_l^n (l:premier fixé, n:entier) grâce, notamment, à des techniques de géométriel-adique. Je détaillerai ensuite un peu plus le pb pour les courbes S_l(l: premier variant) et essaierai notamment d’expliquer comment certainestechniques introduites par Nori pour étudier les sous-groupes des groupeslinéaires sur F_l peuvent se substituer aux techniques de géométriel-adique pour montrer que le genre des courbes S_l tend vers l’infini avecl.
- Variétés rationnelles