Inégalités de Strichartz et phénomènes de scattering pour les équations de Schrödinger et de Gross-Pitaevskii:
Dans ce mini-cours, on commencera par discuter des phénomènes de dispersion pour le laplacien. On expliquera la décroissance locale et ponctuelle des solutions de l’équation de Schrödinger linéaire avant d’expliciter la forme sous laquelle on exploite la dispersion dans les problèmes semi-linéaires, à savoir, les estimées de Strichartz. On montrera alors la stabilité asymptotique de la solution nulle par des méthodes de scattering pour l’équation de Schrödinger cubique ou quadratique pour des petites données initiales. On discutera le cas des grandes données initiales. On introduira par la suite le problème de la stabilité asymptotique de solutions stationnaires non-localisées pour l’équation de Schrödinger cubique et le système dit de Hartree-Fock. On discutera de la nécessité d’introduire de nouvelles estimées de dispersion pour résoudre des problèmes de scattering dans ces contextes.
Stabilité d’états stationnaire pour des équations de Hartree et de Schrödinger pour un nombre infini de particules:
Dans cet exposé, on discutera d’un résultat de scattering au voisinage de certains états stationnaires pour l’équation de Hartree pour un champ aléatoire. Cette équation décrit l’évolution d’un système à un nombre infini de particules. Il s’agit d’une formulation analogue à l’équation de Hartree pour les matrices de densité. On présentera cette équation, la classe d’états stationnaires non-localisés que l’on considère, et l’articulation de la preuve, inscrite dans la théorie plus générale du scattering pour l’équation de Schrödinger semi-linéaire.
