L’évolution de McKean-Vlasovest équivalente à la descente du gradient de l’énergie libre sur la « variété riemannienne » de dimension infinie associée à la métrique de Wasserstein quadratique. On se place ici dans le cas d’une évolution sur R^d avec un potentiel d’interaction attractif,{{à courte portée}} et {{non singulier}}.L’étude de l’équation linéarisée montre alors que l’équilibre correspondant à une distribution homogène est tantôt instable et tantôt stable selon la température. L’enjeu de cet exposé est d’établir des résultats rigoureux sur cette transition de phase qui aillent au-delà du cadre linéarisé : on montrera en particulier qu’il existe une énergie d’activation non nulle dès qu’on est au-delà de la température de transition. Notre approche passe notamment par l’étude du plongement de l’espace de Wasserstein dans des espaces de Sobolev.
- Séminaire Analyse non linéaire et EDP