Flots de gradient, EDP et transport optimal

J’expliquerai d’abord comment discrétiser l’équation ordinaire x'(t)=-DF(x(t)) (dite flot de gradient) en exploitant sa structure gradient, et comment cela peut permettre d’étudier cette équation dans le cas où x(t) vit dans un espace métrique (et pas dans R^n) et/ou F n’est pas différentiable (ou sa différentiabilité n’a pas de sens). Ensuite, j’analyserai le cas d’un espace métrique particulier, l’espace des mesures de probabilité sur un domaine donné, muni de la distance induite par le transport optimal. Les équations d’évolutions dans cet espace deviennent des EDP sur une densité dépendant de x et d t, et plusieurs équations plus ou moins connues (dont l’équation de la chaleur) peuvent s’écrire comme des flots de gradient.