Les solutions de petites amplitudes d’équations aux dérivées partielle nonlinéaires dispersives sur un compact sans bord (par exemple un tore ou une sphère) sont soumises à deux effets concurrents :
- la dispersion des ondes, conséquence du fait que les ondes planes solutions de la partie linéaire de l’équation voyagent avec des vitesses différentes (les ondes s’éloignent les unes des autres)
- la compacité du domaine qui incite à l’interaction via la non-linéarité (les ondes sont amenées à se revoir souvent !).
Qui gagne ? La dynamique en temps long va-t-elle vers la stabilité ou la turbulence ? Nous essaierons de répondre (partiellement) à ces questions à travers des méthodes de formes normales dans le cadre des EDPs Hamiltoniennes.
Dans la première partie, je donnerai un aperçu du théorème de forme normale de Birkhoff en dimension finie qui permet d’établir, sous certaines conditions de non résonances, la stabilité sur des temps longs d’un point d’équilibre elliptique. J’expliquerai comment le passage d’un tel résultat en dimension infinie conduit à des résultats de stabilité pour des EDPs hamiltoniennes, en particulier l’équation de Schrödinger non linéaire.
Dans la seconde partie, je donnerai les résultats récents obtenus avec Joackim Bernier concernant la stabilité en faible régularité.