Le groupe des normes d’une extension finie de Q

Soit K un sous-corps de C, que l’on suppose de dimension finie sur Q. La norme N(x) d’un élément de K est définie comme le déterminant de la multiplication par x dans le Q-espace vectoriel K. On s’intéresse dans cet exposé au sous-groupe N(K*) du groupe multiplicatif Q*. On expliquera comment dans certaines situations on peut détecter si un élément de Q* appartient à N(K*). On verra aussi que le quotient Q*/N(K*) est toujours infini, mais que la preuve de ce résultat nécessite des outils sophistiqués aussi bien de théorie des nombres que de théorie des groupes.