Soit K un corps de caractéristique nulle et soit X une variété surla clôture algébrique de K. On suppose que X est isomorphe à toutes ses conjuguéespar le groupe de Galois absolu de K. Autrement dit, le corps des modules de X estK. Soit L une extension algébrique de K. On dit que L est corps de définition de X s’il existeune variété sur L qui devient isomorphe à X après extension des scalaires.On peut se demander quels sont les corps de définition de X.On dit qu’il y a une obstruction à la descente si K lui même n’est pas corps de définition.Dans le cas où K est un corps de nombres, on peut se demander si une obstruction estlocale ou globale. Je présenterai les exemples d’obstructions globales pour les variétés, quenous avons construits avec Emmanuel Hallouin. Je m’appuierai sur des obstructionsglobales à la descente dans la catégorie des revêtements, construites naguèreavec Nicolas Ros. Je montrerai comment faire voyager ces obstructions depuis lacatégorie des revêtements vers celle des variétés.
- Variétés rationnelles