Phénomènes d’explosion pour des équations d’ondes quasi-linéaires

On dispose de nombreux travaux traitant la formation de singularités pour des équations d’évolution non linéaires invariantes par scaling. Dans cet exposé, je présenterai l’approche qui consiste à construire des solutions qui explosent en temps fini par concentration du soliton. La première partie de l’exposé portera sur la stratégie générale de cette approche constructive. Les solitons étant au coeur de ces phénomènes, je débuterai le cours par un aperçu des ingrédients rentrant en jeu dans l’étude de deux types de solitons. Le premier en lien avec le problème de Yamabe joue un rôle central dans la description des dynamiques des solutions d’équations semi-linéaires dispersives et le second en lien avec le problème de Bernstein en géométrie riemannienne apparait dans l’étude d’équations d’ondes quasi-linéaires issues de la théorie des champs. Puis je déclinerai la problématique d’existence locale dans le cadre quasi-linéaire et enfin je présenterai les étapes principales de la construction de solutions qui explosent en temps fini par concentration du soliton. Dans la seconde partie, je me focaliserai sur un résultat récent (obtenu en collaboration avec Galina Perelman et notre étudiante Alla Marachli) d’explosion pour une équation d’ondes quasi-linéaire issue de la géométrie.