Spectre de grandes matrices aléatoires

Depuis les travaux de Wigner dans les années 50, les matrices aléatoires ont connu un succès spectaculaire. Il est conjecturé que leurs valeurs propres décrivent de nombreux phénomènes physiques et mathématiques — la conjecture de Montgomery sur les zéros de la fonction zeta de Riemann est l’un des exemples les plus célèbres — même si quasiment rien n’est rigoureusement prouvé à l’heure actuelle. J’expliquerai dans cet exposé comment étudier le spectre de ces matrices en suivant l’approche « objective » préconisée par Aldous, implémentée par Edelman et Sutton en 2006 et poursuivie notamment par Valko et Virag. Nous prouverons en passant la loi du demi cercle pour ces matrices (sans aucun calcul !).