Un réseau « unimodulaire pair » est un réseau L de l’espace euclidien R^n qui possède d’une part un domaine fondamental de volume 1, et d’autre part tel que x.x est un entier pair pour tout élément x de L. Le réseau E_8 (n=8) et le réseau de Leech (n=24) en sont des exemples particulièrement fameux.
Les réseaux unimodulaires pairs interviennent dans des domaines variés des mathématiques : problèmes d’empilements de sphères, classification des formes quadratiques « sur Z », théorie des formes modulaires, invariants des variétés, classification des groupes simples finis sporadiques… et même plus récemment dans la théorie des représentations du groupe de Galois absolu de Q !
Ils n’existent qu’en dimension n = 0 mod 8, et en chaque telle dimension, il n’y en a qu’un nombre fini à isométrie euclidienne près. Curieusement, on ne sait les classifier que n<=24. Dans cet exposé, j’expliquerai certains éléments de cette classification en suivant une approche due à M. Kneser.