Tresses et commutativité

Considérons un espace muni d’une multiplication m : X x X -> X. On peut demander que m soit commutative, c’est-à-dire m(x,y) = m(y,x), mais souvent en topologie, c’est trop demander. Que se passe-t-il si on relaxe cette condition, en demandant uniquement que (x,y) -> m(x,y) soit homotope à (x,y) -> m(y,x), c’est-à-dire qu’on peut déformer continument la première application en la seconde ? Peut-on prétendre que notre multiplication est commutative ? Cette question est à l’origine de beaucoup de développements modernes en théorie de l’homotopie, et nous verrons qu’elle nous fait redécouvrir des vieux objets, les tresses, sous un nouveau point de vue.