La Théorie des modèles est une branche de la Logique Mathématique qui est encore mal connue malgré ses nombreuses applications en algèbre, théorie des nombres et géométrie. Le but de cet exposé est, en évitant le formalisme général abstrait, de présenter une introduction à la théorie des modèles à travers des exemples d’applications à l’algèbre. On s’appuiera sur la notion d’ultraproduit qui donne, par exemple, un sens concret et précis à l’énoncé: le corps des nombres complexes est la limite des clôtures algébriques des corps finis à p éléments quand p tend vers l’infini. On essaiera de s’adresser à la fois à ceux d’entre vous qui suivent cette année le cours de Logique Mathématique, en présentant les choses avec un point de vue un peu différent, et aux autres. On ne supposera donc a priori aucune connaissance préalable sur le sujet. De plus, on rappellera rapidement les notions d’algèbre nécessaires à la compréhension des applications.
Premières lectures possibles:
1. Plusieurs textes accessibles à partir de ma page:
http://www.math.u-psud.fr/~bouscare/surveys.html,
qui présentent des applications assez récentes de la théorie des modèles moderne, dite théorie des modèles géométrique, à la géométrie algébrique
ou une présentation classique des ultraproduits:
Introduction à la théorie des modèles pour la Rentrée de Majeure 2005, Ecole Polytechnique sur http://www.math.u-psud.fr/~bouscare
2. Pour un texte plus détaillé, avec toutes les définitions précises, les notes d’un cours donné en 2010 à Orsay, par David Marker (Univ. Illinois, Chicago):
http://homepages.math.uic.edu/~marker/orsay/