Hilbert's fifth problem asks whether every locally euclidean group G can be equipped with a real analytic structure (compatible with the topology) so that the group operations become real analytic
I will survey some results on definable groups in o-minimal structures, some old, some new, emphasizing the interplay between algebra, logic, and topology. In particular I will show how a combination of techniques from model theory and algebraic topology lead to the determination of the definable homeomorphism type of definable abelian groups in dimension not equal to 4 (joint work with E. Baro). If time permits, I will consider the problem of finding a tame definable context, larger than o-minimality, which is suitable for the study of universal covers (work […]
Le groupe de Cremona Crn(C) est le groupe des transformations birationnelles de Cn. Au contraire des groupes de matrices, on ne sait pas, si n?oo2, s'il possède des sous-groupes de type fini non résiduellement finis. Je montrerai une version faible dans cette direction: il est sofique, c'est-à-dire approximable, en un sens convenable, par des groupes finis (notion introduite par M. Gromov et B. Weiss). J'introduirai en détail toutes les notions utilisées.
It is a widely accepted philosophy that the arithmetic of a variety,say over a number field, is governed by its geometry. Indeed, weexpect many rational points, if any, on Del Pezzo surfaces, while onsurfaces of general type, we expect that the rational points are notdense. On K3 surfaces, as for Del Pezzo surfaces, we expect morerational points for higher Picard numbers: for high enough Picardnumber, rational points are potentially dense by a result of Tschinkeland Bogomolov. In this talk, I will highlight some results on thearithmetic of K3 surfaces. I […]
On conjecture que toute surface K3 sur un corps algébriquement closcontient une infinité de courbes rationnelles. En travaillant encaractéristique mixte, on montre que c'est le cas pour les surfaces K3complexes dont le rang de Picard est impair.
Soit k un corps, K une clôture séparable, G le groupe de Galois absolu. Pour X une variété projective et lisse sur k, le groupe de Brauer de X s'envoie dans les invariants sous G du groupe de Brauer de X_K. On étudie le quotient. S'il reste du temps, sur un corps de nombres, on discutera la structure de l'ensemble de Brauer-Manin des variétés dont le groupe de Picard géométrique est sans torsion. On considèrera en particulier le cas des surfaces quartiques diagonales. (Travaux en commun avec A. Skorobogatov, Imperial […]
