Algèbre et géométrie

La théorie de Bruhat-Tits permet de classifier les groupes réductifs sur un corps valué hensélien et partant sur un corps F de séries formelles itérées sur un corps k. Si G/F est un groupe réductif, nous montrerons que le groupe de classes de R-équivalence G(F)/Rest isomorphe à un groupe H(k)/R où H est un groupe algébrique linéaire. Cette technique de spécialisation, issue des exemples de Platonov de groupes spéciaux linéaires, permet de construire de nouveaux cas de variétés de groupes non rationnelles.

Let X be a projective variety over a global field k. Consider the set of projective varieties X' that become isomorphic to X over every completion of k. It is natural to wonder if the set of such X', taken up to k-isomorphism, is finite. Mazur proved such a finiteness result conditional on the Tate--Shafarevich conjecture when k is a number field and the component group of the automorphism scheme of X satisfies some group-theoretic finiteness properties. When k is a global function field, several new difficulties arise. We explain […]