Soit f: A^2 --> A^2 un automorphisme polynomial du plan complexe. Le problème de Manin-Mumford dynamique consiste à décrire les courbes algébriques C contenant une infinité de points périodiques de f.Dans un travail en commun avec R. Dujardin nous avons montré que lorsque f était dissipative, une telle courbe C n'existait jamais.
J'illustrerai, dans le cas des valuations d'Abhyankar, des méthodes d'étude des valuations utilisant la noetherianité des anneaux et conduisant à une preuve de l'uniformisation locale des valuations d'Abhyankar.
Geometries can be given in a direct semantic way, say as a complex or real manifold, or more abstractly, by their co-ordinate algebras and schemes. A duality of this kind becomes highly non-trivial in cases of schemes of arithmetic type and for non-commutative co-ordinate algebras. I will discuss these issues from model-theoretic perspective. A detailed analysis will be given to the canonical commutation relation(s) underlying quantum mechanics. Some applications will be presented.
Given a pair of models Kprec L of a first-order theory T, the pair is said to be stable if the following property holds: all types over K which are realized in L are definable. Marker and Steinhorn characterized stable pairs of models of o-minimal theories as pairs K prec L where K is Dedekind complete in L. In this talk we provide a characterization of stable pairs of algebraically closed valued fields K prec L. To get a flavor of the topic, different examples will be discussed and a […]
We establish for the category of semialgebraic sets and functions on arbitrary real closed fields a full Lebesgue measure and integration theory such that the main results from the classical setting hold. The construction involves methods from model theory, o-minimal geometry, valuation theory and the theory of ordered abelian groups. We set up the construction in such a way that it is uniquely determined by data that can be formulated completely in terms of the given real closed field. We apply our integration theory to questions on semialgebraic geometry and […]
Je décrirai quelques investigations récentes autour du théorème deDrinfeld-Grinberg-Kahzdan sur le voisinage formel d'un arc nonsingulier. C'est un travail en commun avec Julien Sebag.
The first order theory of a henselian valued field of residue characteristic zero is well-understood through the celebrated Ax-Kochen-Ershov principle, which states that it is completely determined by the theory of the residue field and the theory of the value group. For henselian valued fields of positive residue characteristic, no such general principle is known. I will report on joint work with Will Anscombe in which we study (parts of) the theory of equicharacteristic henselian valued fields and prove an Ax-Kochen-Ershov principle for existential (and slightly more general) sentences. I […]
The canonical base property (CBP) is a property of finite rank theories, which was introduced by Pillay and whose formulation was motivated by results of Campana in complex geometry. The main feature of such a property is that it provides a dichotomy for types of rank one, and in consequence one can reproduce Hrushovski's proof of Mordell-Lang for function fields in characteristic zero with considerable simplifications.In this talk, I will motivate (via Mordell-Lang) the statement of the CBP and describe some results around the CBP, in particular on definable groups.
La classe des théories NIP -- définie par Shelah dans les années 70 -- contient celles des théories stables et des théories o-minimales. On pense souvent à NIP comme étant une combinaison de stabilité et de o-minimalité. Dans cet exposé, je présenterai des résultats qui tendent à rendre cette intuition explicite. Je montrerai comment on peut décomposer certains types en une partie stable et un quotient ayant des propriétés typiques des ordres linéaires. Le résultat général pour tous les types est encore conjecturel.
Les diagonales de fractions rationnelles forment une classe de fonctions analytiques se situant au confluent de plusieurs grands thèmes : la combinatoire énumérative, la théorie des équations différentielles, l'arithmétique, la géométrie algébrique et l'informatique théorique. Lorsque leurs coefficients sont des nombres rationnels, ces séries ont la propriété remarquable d'être algébriques modulo presque tout nombre premier p. La façon dont leur degré d'algébricité varie en fonction de p est source de nombreuses questions. En particulier, des exemples de diagonales de fractions rationnelles ayant un `grand degré modulo p' peuvent être mis […]
Travail en commun avec Ehud Hrushovski et Ben Martin.Sous certaines hypothèses sur un groupe G, on peut montrer que le nombre de sous-groupes de G d'indice p^n (que l'on note a_n) est fini. Pour étudier la croissance des a_n, on s'intéresse à la série ?_{p,G}(s) = sum_n a_n t^n dont la rationalité a été démontrée par Grunewald, Segal et Smith (1988). Leur preuve consiste à réécrire cette somme comme une intégrale p-adique à paramètres et à utiliser un résultat de Denef (1984) sur la rationalité des telles intégrales. On peut […]
