Algèbre et géométrie

Dans les années 1980, Gross et Zagier ont établi une formule reliant les hauteurs de points CM sur les courbes modulaires aux dérivées de certaines fonctions L, ouvrant la voie à des applications spectaculaires à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (BSD) pour les courbes elliptiques. J’exposerai d’abord la trichotomie des points rationnels sur les courbes algébriques, avant de présenter la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Je décrirai ensuite les quatre piliers qui sous-tendent la démonstration de Gross–Zagier–Kolyvagin de la conjecture BSD en rang analytique 1. Si le temps le permet, je […]

Le graphe fin des courbes est un objet associé à (presque) toute surface S, sur lequel le groupe des homéos de S agit fidèlement par isométries. C'est un outil tout neuf qui permet de dire de nouvelles choses de ce groupe des homéos de S. J'expliquerai en particulier comment l'action d'un homéo est déterminée par ses propriétés rotationnelles, en quoi ce fait est intéressant et les mots compliqués de ce résumé.

Dans cet exposé, je parlerai des trous noirs en m'appuyant sur deux exemples, présenterai le comportement générique des singularités de l'espace-temps conjecturé par Penrose dans ses conjectures de censure cosmique, et ferai une petite revue des résultats récents autour de ces conjectures.

La méthode du cercle, introduite par Hardy et Littlewood dans les années 20, est un outil majeur en théorie analytique des nombres. Constamment améliorée, elle a conduit à des résultats remarquables, en particulier sur des problèmes additifs concernant les nombres premiers. Dans cette direction, Vinogradov l'a développée en 1937 pour montrer que tout entier impair assez grand est somme de trois nombres premiers. Récemment, elle a connu de nouveaux raffinements, notamment grâce à des travaux de Bourgain et Maynard, conduisant à des résultats spectaculaires sur les chiffres des nombres premiers. […]

Après avoir précisé comment tirer au hasard une surface hyperbolique de genre g, je décrirai la géométrie d'une telle surface aléatoire. En particulier, on verra que, lorsque g tend vers l'infini, sa systole (la longueur de la plus courte géodésique fermée) est en moyenne d'environ 1,61498.

Les groupes de Neretin ont été définis par Yuri Neretin au début des années 90, à l’origine comme analogues p-adiques du groupe des difféomorphismes du cercle. Depuis la preuve de leur simplicité par Kapoudjian en 1999, ces groupes (localement compacts et totalement discontinus) suscitent un intérêt croissant: ils présentent de remarquables propriétés qui contrastent avec celles des groupes localement compacts simples connexes. Dans cet exposé, on s’intéressera notamment au fait qu’ils n’admettent aucun réseau, ainsi qu’aux propriétés remarquables de leurs représentations unitaires.