Séminaire Analyse non linéaire et EDP

Le sujet de cet exposé est la dynamique qualitative générique d'équations paraboliques scalaires du type $u_t=Delta u+f(x,u,abla u)$ sur un domaine $Omega$ borné. Les équilibres de ces équations sont-ils hyperboliques ? Peut-il y avoir des orbites périodiques et si oui, sont-elles isolées ? La dynamique engendrée par les EDP paraboliquesest-elle simple ou peut-elle exhiber du chaos ? Reste-t-elle qualitativement la même quand on change un peu les paramètres de l'équation ? On verra que la réponse à ces questions nécessite des théorèmes de type prolongement unique sur l'EDP et une […]

I will present recent joint work with Charles Smart, in which we prove a Harnack inequality for fully nonlinear elliptic equations in dimension $d$ with possibly unbounded ellipticity-- provided the ellipticity belongs to $L^d$. This yields a stochastic homogenization result for such equations, with applications to random diffusions in (strictly elliptic) random environments.

We prove a blow-up criterion in terms of the upper bound ofthe density for the strong solution to the 3-D compressible Navier-Stokesequations. The initial vacuum is allowed. The main ingredient of theproof is a priori estimate for an important quantity under the assumptionthat the density is upper bounded, whose divergence can be viewed asthe effective viscous flux.