Dans cet exposé, je parlerai des trous noirs en m'appuyant sur deux exemples, présenterai le comportement générique des singularités de l'espace-temps conjecturé par Penrose dans ses conjectures de censure cosmique, et ferai une petite revue des résultats récents autour de ces conjectures.
L'étude du comportement collectif de populations de cellules, de groupes d'animaux ou de foules humaines est à l'intersection de plusieurs disciplines scientifiques, dont la biologie, la physique et les mathématiques. Les communautés expérimentales et théoriques cherchent - ensemble et séparément - à répondre à l'intrigante question de l'auto-organisation: comment un groupe peut-il s'organiser de façon globale alors que les individus n'interagissent entre eux que de façon locale? Dans cet exposé, nous verrons comment la modélisation mathématique permet de mettre ces phénomènes en équations afin d'y apporter des réponses, grâce à […]
14.00 - 14.45 : Jean Lécureux (Université de Bordeaux)Title: A simple lattice in an affine building Abstract: Affine buildings appear naturally in the study of algebraic groups over local fields: the first example is the tree on which acts SL_2(Q_p). Lattices in these algebraic groups are, in higher rank, arithmetic, and in every case, residually finite (hence never simple). Nevertheless, the main result that I will present implies that there exists a simple group which acts properly discontinuously and cocompactly on an affine building. The construction of this group is due to Titz-Mite […]
The geometry of dynamical systems estimated from trajectory data is a major challenge for machine learning applications. Koopman and transfer operators provide a linear representation of nonlinear dynamics through their spectral decomposition, offering a natural framework for comparison. We propose a novel approach representing each system as a distribution of its joint operator eigenvalues and spectral projectors and defining a metric between systems leveraging optimal transport. The proposed metric is invariant to the sampling frequency of trajectories. It is also computationally efficient, supported by finite-sample convergence guarantees, and enables the […]
Trouver les racines d’un polynôme fixé est une vieille et difficile question. Posons nous alors la question pour un polynôme aléatoire avec des coefficients gaussiens iid: qu’est-il possible d’affirmer sur les statistiques de leurs zéros ? On verra que lorsque le degré N du polynôme est grand, le comportement local de ces points peut être comparé à un modèle de physique statistique de N particules chargées positivement (c’est à dire un gaz de Coulomb). Nous explorerons les théorèmes qui sont établis pour ce gaz et les conjectures associées pour les […]
I will discuss amplification mechanisms in incompressible flows generated by geophysical forcing (gravity) and by nonlinear effects (vortex stretching). In the first part, I will introduce Elgindi’s decomposition of the Biot-Savart law in Cα (Elgindi, Annals of Math. 2021; Kiselev & Svérak, Annals of Math. 2014) and show how it can be used to determine the precise pointwise growth of solutions of the 2D Boussinesq equations for short times. This is based in part on joint work with Hientzsch and Iandoli. In the second part, I will present a proof […]
La méthode du cercle, introduite par Hardy et Littlewood dans les années 20, est un outil majeur en théorie analytique des nombres. Constamment améliorée, elle a conduit à des résultats remarquables, en particulier sur des problèmes additifs concernant les nombres premiers. Dans cette direction, Vinogradov l'a développée en 1937 pour montrer que tout entier impair assez grand est somme de trois nombres premiers. Récemment, elle a connu de nouveaux raffinements, notamment grâce à des travaux de Bourgain et Maynard, conduisant à des résultats spectaculaires sur les chiffres des nombres premiers. […]
Etant donné un ensemble d'entiers, est-il possible de trouver un algorithme qui reconnaisse les éléments de cet ensemble ? Un algorithme avec une mémoire finie ? Cobham a donné deux réponses à cette question, l'une qualitative (1969), l'autre constructive (1972). Dans cet exposé nous aborderons les détails de ces résultats ainsi que les extensions de ces résultats très variées qui ont été données ces 50 dernières années (systèmes dynamiques, logique, fractals, combinatoires des suites infinies, transcendance, numération non entières et complexes, …) Séminaires des Mathématiques
Les modèles génératifs profonds paramètrent des familles de distributions très flexibles, capables de representer des ensembles de données complexes, tels que des images ou du texte. Ces modèles fournissent des échantillons indépendants provenant de distributions complexes de haute dimension à un coût négligeable. En revanche, échantillonner exactement une distribution cible, comme une loi posterior Bayésienne ou la distribution de Boltzmann d’un système physique, est généralement difficile : soit en raison de la dimensionnalité, de la multimodalité, du mauvais conditionnement, soit d’une combinaison de ces facteurs. Dans cet exposé, je discuterai […]
In this presentation, we will present a few scientific imaging problems where hybrid approaches that combine physical models of image formation and deep learning are highly successful. We will then address a fundamental challenge in image restoration: the choice of estimator, as perceptual quality often does not align with traditional objective criteria such as minimizing the mean squared error. Finally, we will show how algorithms related to diffusion---highly successful in generative image modeling---can provide an effective solution to this problem. These seminars are being made possible through the support of […]
14.00 - 14.45 : Xenia Flamm (MPI Leipzig - IHES) Title: Positive representations and non-Archimedean ordered fields Summary: Positive representations were introduced by Olivier Guichard and Anna Wienhard in their foundational work on higher Teichmüller theory. In this talk, we propose a notion of positive representation from the fundamental group of a (possibly non-closed) hyperbolic surface into the k-points of a reductive algebraic group, where k is an ordered field. Our approach provides a common framework that simultaneously extends the classical theory for closed surfaces and real Lie groups. We focus on the non-Archimedean case, […]
For more than half a century, computers have become essential research tools in many areas of fundamental mathematics. They have dramatically expanded the scope of experimentation and visualization, thereby becoming valuable assistants in the formulation of conjectures. They also play an increasing role in the discovery and verification of proofs. This phenomenon largely predates the rise of AI, although recent advances in artificial intelligence considerably amplify its impact. This talk will discuss the role of computer tools in contemporary mathematics, with a particular focus on the potential impact of the […]
